Lösung quadratischer Gleichungen durch quadratisches Ergänzen (Artikel) | Khan Academy (2024)

• Quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen lösen

• Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Bis hierher hast die quadratische Gleichungen entweder durch Wurzelziehen oder durch Faktorisieren gelöst. Diese Methoden sind relativ einfach und wirkungsvoll, wenn sie einsetzbar sind. Leider sind sie nicht immer anwendbar.

In dieser Lektion lernst du eine Methode zur Lösung von jeder Art einer quadratischen Gleichung kennen.

Aber die Hoffnung ist nicht verloren! Wir können ein Methode benutzen, die quadratische Ergänzung genannt wird. Wir beginnen mit der Lösung und wiederholen es dann etwas genauer.

Zusammengefasst sind die Lösungen $x=\sqrt{7}-3$‍ und $x=-\sqrt{7}-3$‍.

Das Addieren von $9$‍ zu $x^2+6x$‍ in Zeile $(2)$‍ hat das vorteilhafte Ergebnis, aus dem Ausdruck einen quadratischen Term zu bilden, der als $(x+3{)}^2$‍ faktorisiert werden kann. Dies ermöglicht uns die Gleichung durch Wurzelziehen zu lösen.

Die war natürlich kein Zufall. Die Zahl $9$‍ wurde sorgfältig so ausgewählt, damit der sich ergebende Term ein quadratischer Term sein würde.

Um zu verstehen, wie $9$‍ gewählt wurde,sollten wir uns selbst die folgende Frage stellen: Wenn $x^2+6x$‍ der Anfang eines quadratischen Terms ist, wie lautet dann der konstante Term?

Nehmen wir an, dass der Ausdruck als Quadratzahl $(x+a{)}^2$‍ faktorisiert werden kann, wobei der Wert der Konstante $a$‍ noch unbekannt ist. Dieser Ausdruck wird erweitert, als $x^2+2ax+a^2$‍, was uns zwei Dinge sagt:

1. Der Koeffizient von $x$‍, von dem wir wissen, dass er $6$‍ ist, sollte $2a$‍ entsprechen. Dies bedeutet, dass $a=3$‍ ist.

2. Die konstante Zahl, die wir addieren müssen, entspricht $a^2$‍, was $3^2=9$‍ ist.

Versuche selbst ein paar quadratische Terme zu ergänzen.

Diese anspruchsvolle Frage ergibt eine Abkürzung für die quadratische Ergänzung, für die, die Abkürzungen lieben und denen es nichts ausmacht, sich Dinge zu merken. Es zeigt uns, dass um $x^2+bx$‍ als quadratischen Term zu ergänzen, wobei $b$‍ jede beliebige Zahl ist, wir ${\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2$‍ dazu addieren müssen.

Zum Beispiel, um $x^2+6x$‍ als quadratischen Term zu ergänzen, müssen wir ${\left({\displaystyle \frac{6}{2}}\right)}^2=9$‍ zu diesem addieren.

Fertig! Nun, da du ein geprüfter Quadratischer Ergänzer bist, wollen wir zurück zu dem Prozess des Lösens von quadratischen Gleichungen gehen, indem wir unsere Methode anwenden.

Schauen wir uns ein neues Beispiel an, die Gleichung $x^2-10x=12$‍.

Um den ursprünglichen linken Term $x^2-10x$‍ zu einem quadratischen Term zu machen, addieren wir $25$‍ in Reihe $(2)$‍. Wie immer bei Gleichungen, machen wir das gleiche auf der rechten Seite , wodurch dort $-12$‍ auf $13$‍ zunimmt.

Im allgemeinen hängt die Wahl welche Zahl addiert wird, um den quadratischen Term zu ergänzen nicht von der rechten Seite ab, aber wir müssen die Zahl immer auf beiden Seiten addieren.

Nun bist du dran einige Gleichungen zu lösen.

Dies zeigt, wie die Lösung der Gleichung $x^2+5x-6=x+1$‍ geht:

Das Ergänzen des quadratischen Terms auf einer der Seiten der Gleichung ist nicht hilfreich wenn wir einen $x$‍-Term auf der anderen Seite haben. Dies ist warum wir $x$‍ in Reihe $(2)$‍ subtrahiert haben, indem wir alle variablen Terme auf der linken Seite platziert haben.

Außerdem müssen wir, um $x^2+4x$‍ zu einem quadratischen Term zu ergänzen, $4$‍ hinzufügen. Aber bevor wir das tun, müssen wir sicher sein, dass alle konstanten Terme auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Dies ist, warum wir $6$‍ in Reihe $(3)$‍ addierten, und $x^2+4x$‍ alleine stehen ließen.

Dies zeigt, wie die Lösung der Gleichung $3x^2-36x=-42$‍ geht:

Das ist warum wir in Reihe $(2)$‍ durch den Koeffizienten von $x^2$‍, welcher $3$‍ ist, dividiert haben.

Nun bist du dran eine solche Gleichung zu lösen.